J’ai croisé cette question sur un groupe de discussion et je trouve que c’est un bon algorithme à travailler ensemble. Commencez par chercher à y répondre par vous-même. Arrêtez là votre lecture, prenez une feuille et un stylo, et tentez de calculer la somme des entiers pairs et le produit des entiers impairs d’un tableau que l’on vous a donné en entrée. Vous avez un algo ? Si c’est trop dur du premier coup, n’hésitez pas à découper le problème en 2, calculer la somme des entiers paires, et ensuite, modifiez l’algo pour calculer aussi le produit des entiers impairs. D’ailleurs, c’est ce que nous allons faire. 😊 Si vous souhaitez apprendre, je vous recommande de lire cet article pas à pas, en tentant à chaque fois de faire l’algorithme par vous-même. Autant vous ne pouvez pas deviner comment faire tant que vous ne l’avez pas déjà vu 1 ou 2 fois. Autant vous ne serez jamais autonome si vous ne cherchez pas au maximum à faire par vous-même dès que c’est possible ! Pratiquez, pratiquez, pratiquez ! N’oubliez pas ce vieil adage c’est en forgeant que l’on devient forgeron ! ». Tous les codes indiqués dans cet article sont en pseudo-code. Je mettrais plus tard un exemple en Java et/ou dans le langage de votre choix. Calcul de la somme des entiers pairs Imaginons que nous ayons un tableau nommé nombresEntiers » dont nous connaissons la taille tailleNombresEntiers ». Comment calculer cette somme ? De manière logique, sans entrer dans le verbiage informatique, nous devons Consulter chaque nombre un par un Reconnaitre s’il s’agit d’un nombre pair ou d’un nombre impair S’il s’agit d’un nombre pair, je l’ajoute à la somme des nombres pairs que je calcule petit à petit imaginez une feuille où je somme petit à petit tous les nombres pairs que je rencontre. Une fois tous les nombres analysés, nous avons la somme, il suffit de l’afficher. Pour convertir cela sous forme informatique, voici ce que je dois faire 1 Consulter tous les nombres un par un. Il nous faut itérer sur le tableau avec une boucle Pour. Notez bien que toutes les boucles peuvent faire l’affaire ! Les boucles Pour, Repeter, Faire… Repeter sont toutes équivalentes à quelques différences près. En tout cas il est toujours possible de passer de l’une à l’autre. Nous utilisons Pour dans ce cas, car c’est la boucle la plus adaptée au parcours de tableau. Toutes les informations sont réunies sur la première ligne, c’est plus lisible, tout le monde utilise Pour pour un parcours de tableau. Pourint i = 0 ; i< tailleNombresEntiers ; i++ faire // Votre code ici FinPour Pour information, voici les correspondances entre les boucles en pseudo-code français et les boucles en informatique Pour for Repeter while Faire … repeter do … while 2 Comment reconnaître un nombre pair ? Pour cela nous allons utiliser l’opération modulo. Le modulo nous donne le reste de la division entière entre deux nombres lien wikipedia. C’est une très bonne technique pour identifier des cycles. Ici nous cherchons les nombres pairs, donc tous ceux qui sont divisibles par 2. Ces nombres auront donc un reste de 0. Quelques exemples pour vous en convaincre 6 modulo 2 = 0 quand on divise 6 par 2 en division entière, il reste rien à diviser, car 6 est directement divisible par 2 cela donne un quotient de 3 attention, module est le reste de la division entière, pas le résultat ! C’est uniquement ce qu’il reste, qui n’a pas pu être divisé. 7 modulo 2 = 1 quand je divise 7 par 2 en division entière il me reste 1, car 7 n’est pas directement divisible par 2 en division entière. C’est 6 qui l’est. Il reste donc 1 qui correspond à l’écart entre 7 et 6. 12 modulo 2 = 0 17 modulo 2 = 1 Vous pouvez explorer la fonction modulo par vous-même en utilisant la calculatrice intégrée de Google Pour mieux comprendre l’immense intérêt des modulos pour identifier des cycles en informatique, testez des modulos par 5, par 7, par 8 … 7 modulo 5 = 2 8 modulo 5 = 3 9 modulo 5 = 4 10 modulo 5 = 0 Vous êtes maintenant capable d’identifier des cycles de 5, ou des cycles de toute autre nature 😊. Nous savons identifier les nombres pairs, il nous reste à le faire dans un test pour conditionner le code permettant de les sommer Si nombresEntiers[i] modulo 2 == 0 Alors // votre code ici FinSi Testez ce code avec un affichage, vous verrez qu’il n’affiche que les nombres pairs. 😊 3 Sommer les nombres pairs Nous savons parcourir le tableau et identifier tous les cas de nombres pairs pour exécuter du code spécifique seulement dans ces cas-là. Quel code pouvons-nous mettre pour calculer la somme ? En informatique nous procédons comme dans la vraie vie. Nous commençons par faire la somme entre les deux premiers, puis entre le résultat et le nombre suivant, et ainsi de suite jusqu’au dernier nombre à ajouter. Ensuite, nous faisons cela petit à petit en même temps que la boucle parcourt le tableau et identifie des nombres pairs. Ajoutez une variable sommeDesNombresPairs » juste avant la boucle, et l’initialiser à 0 . Oui, au début, je n’ai sommé aucun nombre pair, donc la somme vaut 0. Ensuite, à chaque tour de boucle, quand j’ai identifié un nombre pair, je peux simplement faire la somme entre ce nombre et ma variable sommeDesNombresPairs et je stocke le résultat dans cette même variable. Le code pour faire cela est tout simple sommeDesNombresPairs = nombresEntiers[i] + sommeDesNombresPairs ; Cela donne le code complet suivant Pourint i = 0 ; i< tailleNombresEntiers ; i++ faire Si nombresEntiers[i] modulo 2 == 0 Alors sommeDesNombresPairs = nombresEntiers[i] + sommeDesNombresPairs; FinSi FinPour 4 À la fin, afficher. Il s’agit de la partie la plus simple, tout le travail a déjà été fait en cumulant petit à petit la somme des entiers pairs dans sommeDesNombresPairs ! 😊 Il suffit maintenant de l’afficher juste après la fermeture de la boucle AffichersommeDesNombresPairs ; Calcul du produit des entiers impairs Stoppez là votre lecture ! Tentez de le faire par vous-même, nous avons déjà vu tout ce qui vous permettait de répondre à cette question. Car au final, qu’est-ce qui différencie cette question de la précédente ? Il faut identifier les nombres impairs. Il faut en faire le produit. Vous avez déjà les briques vous permettant de répondre à ces questions. Allez-y, lancez-vous ! Toujours des questions ? Voici un peu d’aide 1 Identifier les nombres impairs Pour cela, il suffit d’ajouter un test portant toujours sur le modulo. Au lieu de tester si le reste de la division entière par 2 est de 0, vous allez tester s’il est de 1. En effet, tous les nombres impairs auront un reste de division entière de 1. Voici le code Si nombresEntiers[i] modulo 2 == 1 Alors // le code ici FinSi Notez que vu que les entiers sont soit pairs soit impairs, nous pourrions très bien ajouter une clause sinon sur le test des cas pairs. 2 Calculer le produit des nombres impairs Surtout ne pas toucher à la variable que nous avions créée. Il faut en faire une autre dans laquelle nous allons progressivement calculer le produit. Appelons la produitDesNombresImpairs. Le calcul, de manière similaire, va être de faire la multiplication entre le nombre impair trouvé et produitDesNombresImpairs. Ensuite, stocker le résultat de cette multiplication dans produitDesNombresImpairs lui-même pour en tenir compte par la suite. Voici le pseudo-code produitDesNombresImpairs = nombresEntiers[i] * produitDesNombresImpairs; En conclusion Nous avons vu quelques points récurrents des algorithmes. La fonction modulo pour identifier les cycles et le calcul progressif d’une somme ou d’un produit en utilisant une variable créée pour l’occasion. J’espère que cet article vous aide à découvrir la programmation et à comprendre comment créer un algorithme. N’hésitez pas à le partager s’il peut être utile à d’autres personnes. Si vous voulez que je mette ce code dans un langage particulier, indiquez-le-moi dans les commentaires.

date d'inscription 04112021 Profil Retraité bonjour j'ai bien compris votre système de calcul pour la revalorisation agricole le problème est que j'ai recontré d'autres formules de calcul qui ne donnent pas du tout le mème résultat style 85% de 1820 x le smic horaire net - PMR - RCO c'est quoi la bonne formule ? Spécialiste 5337 messages 15082022 08h42 date d'inscription 16012019 Profil Retraité Depuis le 1er novembre 2021, le montant des pensions de retraite passe de 75% à 85% du SMIC net agricole pour les anciens chefs d’exploitation ayant une carrière complète entre en vigueur. Cette revalorisation des pensions de retraite agricoles en France continentale et dans les Outre-mer, prévue par loi du 3 juillet 2020, s’applique sur les pensions de novembre 2021, avec un premier paiement au 9 décembre sur l site de la MSA Revalorisation des retraites agricoles date d'inscription 04112021 Profil Retraité j'ai lu ça depuis longtemps mais j'ai pris ma retraite au 1et semptembre 2019 et pour un taux plein dont 106 trimestres sur 167 retraite forfaitaire 177,82 retraite proportionnelle 157,66 rco 73,97 la MSA me paie 61,84€ de complément différentiel d'après votre exemple avec philippe j'aurais dù toucher 902x106/166 = 575,97 - 409,15 = 166,82 € c'est une erreur de leur part où utilisent - ils une autre formule ? merci de votre réponse

Свሳлը ጷոфуቢи	Սቬчը эд ла
Зኪգ աкուςኒሿезէ цуሁሚκ	Ектኢቬ ኂβуሁяቾጀያ
ፓαյевεσιቄи и δυሔሟж	Ավիνωኸሩσիδ ሱ
Շо ибовра հозвук	Ищαአε тиፎаглэժιξ

Algorithme calcul de somme - Forum de mathématiques. Les résultats que tu as obtenus sont corrects Enfin, pour calculer une somme de nombres allant de 1 à N, c'est presque dommage d'utiliser un algo aussi

Un livre de Wikilivres. Algorithmique impérative Sommaire Avant-propos Théorie de l'algorithmique impérative Qu'est ce qu'un algorithme impératif Les types, les opérateurs et les expressions Les constantes, les variables Les instructions, les blocs d'instructions L'assignation Les exécutions conditionnelles Les structures itératives Les tableaux Les procédures et les fonctions Le type enregistrement L'algorithme au final vue d'ensemble Exercices Outils de travail La rédaction d'un algorithme Travaux pratiques tester un algorithme sur une machine Guide de traduction Pascal Problèmes posés, analysés, résolus et commentés Inverser deux variables Un menu de sélection simple Somme des n premiers entiers PGCD de deux nombres Trier un tableau Rechercher un élément dans un tableau Jeu du Tas de billes Quiz Solutions d'un polynôme Écarts entre les éléments d'un tableau Annexes L'algorithmique impérative, et après ? Perspective sur la suite des évènements... Ressources externes bibliographie, liens... Modifier ce modèle ce sommaire Problématique[modifier modifier le wikicode] Écrire un algorithme sous forme d'une fonction qui calcule la somme des premiers entiers jusqu'à n inclus, n étant passé en paramètre. Exemple somme5 calculera 1+2+3+4+5 et renverra donc 15 Solution[modifier modifier le wikicode] Voici une première réponse acceptable Function sommen entier Lexique somme entier * la somme qu'on complète au fur et à mesure et qu'on retournera à la fin * Début somme=0 POUR i de 0 à n somme=somme+i FP retourner somme Fin Pourquoi partir de 0 et pas 1 ? Cela sert tout simplement à gérer le cas n=0. Cela ne change rien pour les autres cas puisque en reprenant l'exemple de la problématique somme5 va calculer 0+1+2+3+4+5, c'est à dire 1+2+3+4+5 =15. Cependant, la boucle peut partir de 1 si elle ne s’exécute pas pour n=0. Dans ce cas, la somme sera 0 valeur initiale de la variable somme. Remarque[modifier modifier le wikicode] Essayons une analyse un peu plus mathématique du problème En fait notre fonction calcule pour n . L'étude des séries nous apprend que . On peut en déduire que la fonction peut s'écrire Function somme_directen entier Début retourner n*n+1/2 Fin Ce qui d'une part est plus simple mais également, comme nous allons le voir, plus efficace. Simplifions le fonctionnement d'une machine au maximum supposons qu'il faut une unité de temps au processeur pour effectuer un calcul et qu'une opération entière et l'assignation consistent toutes en 1 calcul. Supposons que nous voulions calculer somme1000 Avec somme nous allons effectuer 1000 incrémentation de i 1000 sommes somme+i 1000 assignation Soit au moins 3000 calculs. Avec somme_directe nous allons effectuer une somme n+1 une multiplication n*n+1 une division par 2 Soit 3 calculs. Conclusion 3000 calculs pour le premier algorithme, 3 calculs pour le second. La différence entre les deux le mathématicien qui doit se retrouver en chaque algorithmicien. Et dire que de nombreux étudiants en informatique sont souvent étonnés de la présence importante de mathématiques durant leur cursus... pour info Wikilivres propose des cours de mathématiques...

Pourtout entier n supérieur à 1, la somme des n premiers impairs vaut n² : = + + + + = = =. Exemples : 1=1², 1+3=2², 1+3+5=3², etc. Il s'agit d'un cas particulier de somme de termes d'une suite arithmétique. Ici c'est la suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1 dont on calcule la somme des n premiers termes.. Somme des premières puissances

Avec le tableur Excel, vous pouvez non seulement élaborer des tableaux et générer des diagrammes associés, mais aussi effectuer des calculs mathématiques simples ou complexes. Vous pouvez calculer le résultat de formules classiques ou de fonctions spécifiques. Ces dernières sont particulièrement avantageuses pour des calculs à grande échelle avec de nombreuses valeurs. Ainsi, la fonction SOMME d’Excel permet notamment d’additionner rapidement les valeurs de plusieurs cellules. Par ailleurs, le logiciel adapte automatiquement le résultat lorsque l’on modifie les valeurs des cellules en question. Dans cet article d’explication, vous apprendrez comment utiliser la fonction SOMME d’Excel et quels paramètres doivent être avec Microsoft 365 et IONOS !Utilisez Excel pour organiser vos données et gagner du temps - inclus dans tous les packs Microsoft 365 !Office en ligneOneDrive avec 1TBAssistance 24/7SommaireFonction SOMME d’Excel aperçu des données de référence les plus importantesExcel calculer des additions avec une fonctionExemple 1 additionner l’ensemble des données relatives à un client données d’une même ligneExemple 2 calculer les dépenses totales de l’ensemble des clients pour un mois spécifique données d’une même colonneExemple 3 calculer le total de l’ensemble des dépenses données des colonnes et des lignesExemple 4 ensemble des données d’un groupe de clients spécifique données de cellules non adjacentesFonction SOMME d’Excel aperçu des données de référence les plus importantesAvant d’aborder le fonctionnement de la formule SOMME d’Excel à travers un exemple concret, penchons-nous sur les conditions nécessaires à son utilisation, à savoir les règles de syntaxe à respecter impérativement pour que la fonction s’applique correctement. Dans le cas de la fonction SOMME d’Excel, ces conditions ne sont pas d’une grande complexité, car le logiciel a uniquement besoin des valeurs concernées puis de les additionner pour obtenir le résultat escompté. La syntaxe se présente comme suit =SOMMEArgument1;Argument2;…La fonction SOMME présuppose au moins un argument. Argument1 » est obligatoire, tandis que Argument2 » et suivants sont optionnels. Au total, la fonction peut gérer jusqu’à 255 arguments différents. Un argument peut être au choix une valeur numérique, ex. 4 » une référence à une autre cellule, ex. D4 » ou bienune plage de cellules, par exemple D4F8 »Le plus important est de toujours appliquer le point-virgule, qui est utilisé sous Excel pour séparer les arguments. NoteLe symbole égal » précédant une fonction signale à Excel que la cellule contient une formule. Il est indispensable pour que le logiciel puisse appliquer les fonctions, comme SOMME ».Excel calculer des additions avec une fonctionComme évoqué auparavant, la fonction SOMME d’Excel est tout indiquée pour additionner plusieurs valeurs. Seule condition préalable, ces valeurs doivent être inscrites dans des cellules distinctes sur un document Excel enregistré. Dans les exemples qui suivent, nous nous appuierons sur un ensemble de données qui récapitule les achats mensuels de six clients d’avril à juin Le tableau ci-dessus correspond à un tableau mis en forme sous Excel. La mise en forme ne joue aucun rôle dans l’utilisation de la fonction 1 additionner l’ensemble des données relatives à un client données d’une même lignePremier cas appelant l’utilisation de la fonction SOMME d’Excel l’addition de dépenses mensuelles d’un seul client sur une période de trois mois. Pour ce calcul, choisissez tout d’abord la cellule dans laquelle afficher le résultat de la fonction, à savoir le total des dépenses du client souhaité. Entrez ensuite la formule suivante dans cette cellule Appuyez sur Entrée pour appliquer la fonction. Si vous travaillez avec un ensemble de données qui n’est pas au format tableau, vous obtiendrez uniquement le résultat des données du Client 1, qui sont comprises dans la plage de données B2D2 ». Dans le cas de données au format tableau, Excel reporte la formule SOMME dans toute la colonne de manière à afficher le résultat du calcul pour l’ensemble des clients Si vous ne souhaitez pas reporter automatiquement la fonction dans toute la colonne, vous pouvez facilement annuler la propagation cliquez sur le bouton Options de correction automatique » sur la cellule d’origine et choisissez Annuler la colonne calculée ». Le même menu vous permet de désactiver la création automatique de ces colonnes calculées ». ConseilVous pouvez également sélectionner les plages de cellules à utiliser dans la fonction SOMME d’Excel avec la souris, après avoir ouvert la parenthèse dans la formule. Pour ce faire, cliquez simplement sur la première cellule et gardez le bouton gauche de la souris enfoncé. Glissez ensuite le curseur sur toutes les autres cellules à prendre en compte dans le 2 calculer les dépenses totales de l’ensemble des clients pour un mois spécifique données d’une même colonneDe la même manière que la fonction SOMME d’Excel permet d’additionner toutes les valeurs d’une ligne, elle peut traiter celles d’une colonne spécifique. Dans notre exemple, cela signifie que l’on peut calculer l’ensemble des dépenses effectuées par les six clients en avril, mai ou juin. Cette fois encore, il faut choisir une cellule vide. Pour avril, on y calcule la somme totale à l’aide de la formule suivante Dans le cas de données au format tableau, le résultat que vous avez obtenu en appuyant sur Entrée pour valider la formule peut s’afficher selon trois options Placer la formule dans la ligne des totaux du tableau, ou Placer la formule dans le tableau, ou Placer la formule sous le tableau sans format particulier. Pour ce faire, cliquez sur l’option de correction automatique déjà rencontrée auparavant et choisissez l’option souhaitée Exemple 3 calculer le total de l’ensemble des dépenses données des colonnes et des lignesLa fonction SOMME ne s’utilise pas uniquement pour une seule ligne ou une seule colonne elle permet aussi d’additionner les valeurs d’un ensemble de lignes et de colonnes. Cette méthode permet d’obtenir rapidement un aperçu de l’ensemble des dépenses des six clients de notre exemple, pour les trois mois dont nous disposons Appuyez cette fois encore sur Entrée pour appliquer la 4 ensemble des données d’un groupe de clients spécifique données de cellules non adjacentesDans les exemples précédents pour la fonction SOMME d’Excel, nous n’avons eu besoin que d’un seul argument, car les cellules concernées étaient adjacentes. Comme nous l’avons mentionné, on peut en principe utiliser jusqu’à 255 arguments dans la formule SOMME Excel est donc capable d’additionner des cellules ou des plages de cellules non adjacentes. Dans le tableau qui nous sert d’exemple, nous pouvons répartir les clients en plusieurs ensembles et calculer la somme totale que les clients 2, 4 et 6 ont dépensée d’avril à juin =SOMMEB3D3;B5D5;B7D7La formule se complique lorsqu’on souhaite prendre en compte uniquement les mois d’avril et de juin, sans tenir compte du mois de mai. Dans ce cas, au lieu d’une formule à trois arguments avec plages de cellules, il faut créer une formule à six arguments avec références à d’autres cellules =SOMMEB3;B5;B7;D3;D5;D7 ConseilDans le cas de cellules non adjacentes, vous pouvez également sélectionner les valeurs à calculer avec la souris. Pour y parvenir, il vous suffit de maintenir la touche [Ctrl] enfoncée. Cliquez ensuite sur les cellules souhaitées avec le bouton gauche de la souris et vous les verrez apparaître dans la formule avec Microsoft 365 et IONOS !Utilisez Excel pour organiser vos données et gagner du temps - inclus dans tous les packs Microsoft 365 !Office en ligneOneDrive avec 1TBAssistance 24/7Articles similairesFonction pratique dans Excel Qu’est-ce que ? Le tableur Excel de Microsoft offre une multitude de possibilités. Mais beaucoup ne connaissent pas les nombreuses fonctions qui sont pourtant très utiles. Il serait dommage de ne pas en profiter et de se contenter de créer manuellement des tableaux. La fonction aide à créer des statistiques. Nous expliquons comment utiliser dans Excel et quels problèmes vous... Excel SI-ALORS comment fonctionne la formule SI ? Dans Excel, la formule SI-ALORS est une des plus utiles. Dans beaucoup de situations, vous pouvez commencer une comparaison logique SI A est vrai, ALORS A est égal à B ou à C. Afin d’utiliser la formule SI ALORS de manière adéquate, il est nécessaire de comprendre quelle est son utilité et comment l’employer. Quelle syntaxe a la fonction SI et comment peut-on l’étendre ? Comment supprimer les doublons sur Excel Le programme Microsoft Excel permet d’enregistrer et de traiter des données en toute simplicité. Mais plus un tableau contient d’entrées, plus grande sera la probabilité que certaines entrées apparaissent en double. Afin de résoudre ce problème de façon aussi simple que possible, Excel offre une fonctionnalité de suppression des doublons. Elle permet de supprimer les valeurs et les entrées en... Excel additionner des heures - simplement et rapidement La fonction SOMME permet d’additionner rapidement plusieurs valeurs. Pour ajouter des heures dans Excel, il faut d’abord ajuster le formatage des cellules. Et ce, avec précautions ! Dans le cas contraire, vous devrez faire face à des problèmes lors de l’ajout d’heures au-delà de 24 dans Excel. En effet, il se peut que votre somme ne prenne pas en compte les journées complètes. Pour l’éviter, lisez... Excel explication de la fonction CONCATENER Un résultat par cellule c’est ainsi que l’on connaît Excel. Cette procédure est d’ailleurs des plus sensées. Lorsque chaque cellule contient une seule valeur, ses contenus peuvent facilement être réutilisés dans d’autres fonctions. Cependant, il arrive que l’on souhaite combiner plusieurs éléments. La fonction Excel CONCATENER nous le permet. Voici comment insérer un texte, des nombres et des...

Notezqu’Excel calcule les heures en tant que fraction d’une journée, c’est pourquoi vous devez multiplier par 24 pour obtenir le nombre total d’heures. Dans le premier exemple, nous utilisons ^{Comment calculer une somme ?La sommation peut être décrite comme l'addition séquentielle d'un groupe de nombres. L'addition n'est qu'une des quatre opérations de base en mathématiques, avec la multiplication, la soustraction et la division. Pour quelques nombres, y compris des nombres entiers, c'est simple. Cependant, les nombres réels peuvent rendre les choses plus difficiles. C'est pourquoi notre outil de sommation est si précieux. Vous pouvez copier/coller les nombres ou les saisir manuellement, séparés uniquement par un symbole non numérique, moins et un point. Vous pouvez utiliser des raccourcis lorsque vous devez calculer des sommes pour des séquences que l'addition est sociative et que la somme ne dépend PAS de la façon dont les additions ont été regroupées, les parenthèses peuvent être omises dans la sommation. Cela signifie que la permutation des termes d'une série finie ne modifie pas le résultat de la sommation. Par exemple, additionner 1 + 2 +3 + 4 équivaut à additionner 1 + 4 + 3 + 2, ce qui peut être vérifié par notre calculateur de somme. La sommation peut également avoir lieu sur des nombres négatifs. C'est ce qu'on appelle une somme algébrique » lorsqu'elle indique expressément que le signe a été pris en vous additionnez tous les nombres d'un ensemble donné, le résultat peut être appelé "total". Ce n'est pas comme si vous ajoutiez une partie à la séquence - la somme des séquences, également connue sous le nom de. La sommation de séries est l'addition ou la soustraction de toutes les valeurs d'une série ordonnée. Il est généralement exprimé en notation sigma S. Une séquence peut être infinie ou finie, selon sa valeur Sigma en alphabet grecSigma, la 18e lettre de l'alphabet grec moderne, est majuscule et minuscule . Il a une valeur de 200 en Gematria. La forme alternative de sigma s doit être utilisée dans la position finale du mot. La lettre phénicienne Sin, qui signifie dent, est à l'origine de la lettre grecque sigma. La lettre minuscule sigmas. Il est utilisé pour indiquer l'écart type en statistiques et en mathématiques. Il peut également indiquer des syllabes en linguistique, des constantes de protection en chimie et la somme des diviseurs en mathématiques. La lettre majuscule Sigma S est utilisée pour résumer, les de l'articleParmis KazemiParmis est un créateur de contenu passionné par l'écriture et la création de nouvelles choses. Elle est également très intéressée par la technologie et aime apprendre de nouvelles De Somme FrançaisPublié Fri Jan 28 2022Dans la catégorie Calculatrices mathématiquesAjoutez Calculateur De Somme à votre propre site Web} SOMMEdes NOMBRES. Démonstrations directes . Méthode générale pour calculer la somme des entiers, des carrés, des cubes, etc. Elle repose sur l'utilisation d'une équation bien choisie au départ.. N'oubliez pas que la méthode la plus simple pour calculer la somme des entiers est encore la méthode utilisée par Gauss enfant.

Objectifs Connaitre la formule de la somme des n + 1 premières puissances d'un nombre et l'utiliser. Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique, directement ou non. Calculer la limite de cette somme. Pour bien comprendre Connaitre la notion de suite. Savoir ce qu'est une suite géométrique. Calculer le terme général d'une suite. Calculer les puissances d'un nombre. 1. Rappels sur les suites géométriques On dit qu'une suite un est géométrique s'il existe un réel q non nul tel que, pour tout n entier naturel, on ait un+1 = qun. Le réel q s'appelle la raison de la suite. Exemple La suite définie par un+1 = 2un avec u0 = 1 est une suite géométrique de raison 2. Les premiers termes de cette suite sont 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16… Dire qu'une suite de termes non nuls est géométrique signifie que le quotient de deux termes consécutifs quelconques est constant, quel que soit n. Propriété Le terme général d'une suite géométrique un peut s'exprimer directement en fonction de n avec un = u0qn ou un = upqn–p quel que soit p, entier naturel. Il est ainsi possible, connaissant u0 ou up et q, de calculer n’importe quel terme de la suite. Exemple Pour une suite géométrique de raison –0,3 et de premier terme u0 = 7, on peut écrire un = u0 × –0,3n et ainsi connaitre directement la valeur de n'importe quel terme de la suite. Par exemple, u4 = 7 × –0,34 = 7 × 0,0081 = 0,0567. 2. Somme des puissances d'un réel q Propriété Soit q un réel et n un entier naturel. On a S = 1 + q + q2 + … + qn = pour q ≠ 1. Remarque Pour q = 1, cette somme vaut simplement . Démonstration S = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn En multipliant S par q on obtient qS = q + q2 + q3 + … + qn+1. Soustrayons membre à membre ces deux inégalités S – qS = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn – q + q2 + q3 + ... + qn + qn+1 Dans le membre de droite, q, q2, q3, …, qn s'éliminent. Ainsi, il reste S1 – q = 1 – qn+1. En divisant par 1 – q, pour q ≠ 1, on obtient . On retiendra que n + 1 est le nombre de termes dans la somme S. Exemple La somme des 10 premières puissances de 2 est S = 1 + 2 + 22 + … + 29 = = 210 – 1 = 1023. 3. Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique a. Première formule On considère la suite géométrique un de raison 1,2 et de premier terme u0 = –4. Calculons la somme S = u3 + u4 + … + u15. L'expression de un en fonction de n est un = u0 × qn = –4 × 1,2n. Ainsi, la somme S s'écrit S = –4 × 1,23 – 4 × 1,24 … – 4 × 1,215 et, en factorisant par –4 × 1,23 , on obtient S = –4 × 1,23 [1 + 1,2 + … + 1,212] En utilisant la formule 1 + q + q2 + q3 + … + qn = on obtient Sn = u0 + … + un = u0 × Spn = up + … + un = up × Remarque On peut bien sûr retenir ces formules, mais on les retrouve rapidement en combinant le terme général d'une suite géométrique et la somme des premières puissances de la raison q. b. Deuxième formule Soit un une suite et n et p deux entiers naturels. Propriétés Soit S = up + up+1 + … + un une somme de termes consécutifs d’une suite. Le nombre de termes de cette somme est n – p + 1. Le premier terme de cette somme est up. Si cette suite est géométrique de raison q, alors on peut mémoriser cette somme par S = 1er terme × Exemple Soit un une suite géométrique de raison 4 telle que u5 = 1. Alors S = u5 + u6 + … + u12. S = 1er terme × Or 1er terme = u5 = 1 ; raison = 4 ; nombre de termes de S = n – p + 1 = 12 – 5 + 1 = 8. S = 1 × = 21 845 c. Troisième formule Soit un une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 . Sn = u0 + u1 + u2 + … + un Sn = u0 × Sn = Sn = Or un = u0qn Donc Sn = Autrement dit, Sn = . Exemple On va calculer S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128. On reconnait une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison 2. Donc S = = 255. 4. Comportement de cette somme lorsque n tend vers +∞ Vous avez déjà mis une note à ce cours. Découvrez les autres cours offerts par Maxicours ! Découvrez Maxicours Comment as-tu trouvé ce cours ? Évalue ce cours !

FonctionSOMME d’Excel : aperçu des données de référence les plus importantes. Excel : calculer des additions avec une fonction. Exemple 1 : additionner l’ensemble des données relatives à un client (données d’une même ligne) Exemple 2 : calculer les dépenses totales de l’ensemble des clients pour un mois spécifique (données d

Ceci est un résumé sur les différentes façons de compter des cellules et de faire la somme de leur contenu en fonction du résultat de certains tests. NB La fonction NB compte le nombre de cellules qui contient des nombres et ignorera les autres. Par exemple les cellules contenant du texte seront ignorées. NBVAL La fonction NBVAL compte le nombre de cellules quel que soit leur contenu du texte, des nombres, des erreurs, des valeurs logiques ou des formules . Elle ignore les cellules vides. La fonction compte le nombre de cellules vides. SOMME La fonction SOMME fait la somme des nombres contenus dans les cellules spécifiées. Voir ci-dessous l'utilisation de cette fonction en combinaison avec une condition. La fonction renvoie les résultats NB, NBVAL ou SOMME pour des données filtrées, donc pour les données contenues dans des cellules, précédemment choisies grâce à un filtre. La fonction compte les éléments qui remplissent une condition unique. Par exemple ">4" compte les cellules de la plage A1A4 qui sont supérieures à 4. La fonction totalise les éléments qui vérifient une condition unique. Par exemple "=rouge"; B1B4 totalise les valeurs de la plage B1B4 qui correspondent à la valeur “rouge” dans la plage A1A4. BDNB, BDNBVAL, BDPRODUIT Les fonctions BDNB, BDNBVAL et BDSOMME agissent de la même façon que NB, NBVAL et SOMME, à cette différence près que les cellules comptées ou totalisées sont choisies en fonction d'une série de conditions désignée sous le vocable "critères de recherche". Par exemple, BDNBA1C5; 0; E6F7 compte le nombre de lignes de la plage A1C5 pour lesquelles les conditions figurant dans la plage E6F7 sont toutes vérifiées. Conditions dans la sélection des cellules Un moyen très simple de compter ou de totaliser en utilisant plusieurs conditions consiste à indiquer ces conditions dans une nouvelle ligne ou une nouvelle colonne. Par exemple A1A6 contient une liste de couleurs et B1B6 une liste de tailles, il est possible d'entrer dans la cellule D1 la formule =A1="rouge", qui renvoie VRAI ou FAUX selon que le contenu de la cellule A1 est rouge ou pas. Une alternative consiste à entrer dans la cellule D1 la formule =ETA1="rouge"; B1="grand" ou =A1="rouge" ET B1="grand", qui renvoie VRAI si le contenu de la cellule A1 est rouge ET celui de la cellule B1 est grand et qui renvoie FAUX dans les autres cas. Copier et coller cette formule dans les cellules de la plage D2D6 permet d'obtenir une série de cellules contenant VRAI si les conditions sont vérifiées et FAUX autrement. En terme de calcul numérique, VRAI est traité en tant que 1, et FAUX est traité en tant que 0. Aussi, saisir =SOMMED1D6 totalisera simplement ces 1 et ces 0, et renverra le total des éléments qui sont à la fois rouge ET grand. En fait, puisque VRAI et FAUX valent 1 et 0, le recours à la fonction ET n'est pas indispensable - dans D1 il est possible de simplement écrire =A1="rouge"*B1="grand", et copier/coller cette formule dans la plage de cellules D2D6. Maintenant, supposons que C1C6 contient une liste de poids de ces articles, et que nous souhaitons connaître le poids total de tous les articles grand rouge. En D1 nous écrivons =A1="rouge"*B1="grand"*C1, et effectuons un copier/coller dans la plage de cellules D2D6. D1 contiendra le poids mentionné en C1 si les conditions sont vérifiées et zéro autrement et ainsi de suite pour D2D6. Ainsi =SOMMED1D6 nous donnera maintenant le poids total. D'une autre manière, il est possible de remplir la plage D1D6 avec une formule de matrice. En D1, on peut écrire =A1A6="rouge"*B1B6="grand"*C1C6, et valider en pressant simultanément Ctrl+Maj+Entrée. Toutes les cellules dans la plage D1D6 affichent maintenant les poids souhaités, comme précédemment. SOMMEPROD La fonction SOMMEPROD peut être utilisée pour effectuer les comptages et les totalisations de la section précédente, sans avoir à recourir à des colonnes supplémentaires. Il est nécessaire de comprendre les formules matricielles pour comprendre cela. L'exemple de totalisation de la section précédente, A1A6="Rouge", B1B6="grand" et C1C6 peut être traité comme 3 matrices séparées, non affichées et calculées de manière interne. =SOMMEPRODA1A6="Rouge"; B1B6="grand"; C1C6 va multiplier les éléments correspondants des matrices mentionnées et renvoyer leur somme, à savoir A1="Rouge"*B1="grand"*C1 + A2="Rouge"*B2="grand"*C2 + ... Ceci donne à nouveau le poids total, sans avoir recours à une colonne supplémentaire. Notez que les formules SOMMEPROD sont simplement entrées en pressant la touche Entrée – elles ne nécessitent pas la combinaison Ctrl+Maj+Entrée, même si elles mettent en œuvre les matrices. Il est également nécessaire d'avoir conscience du fait que les calculs portant sur des matrices de grande taille nécessitent beaucoup de temps processeur et sont susceptibles de ralentir la feuille de calcul. SOMME avec des formules matricielles Une alternative à SOMMEPROD est d'utiliser la fonction SOMME. L'exemple précédent serait rédigé =SOMME A1A6="Rouge"*B1B6="grand"*C1C6 et saisit comme une formule matricielle en pressant Ctrl+Maj+Entrée. Comme avec SOMMEPROD, ceci agit en multipliant entre eux les éléments correspondants des matrices et en renvoyant leur somme. Le pilote de données Une autre approche des sommes et calculs conditionnels consiste à recourir au Pilote de données et générer une table interactive, dans laquelle les données peuvent être arrangées et résumées de différentes façons. Trucs et Astuces Vérifiez les paramètres En manipulant du texte avec certaines fonctions comme le résultat obtenu peut dépendre des réglages effectués dans la page menu Outils > Options >LibreOffice Calc > Calcul. Si les réglages de l'utilisateur sont incorrects, les résultats obtenus peuvent, de ce fait, être faux. Une solution peut consister à inclure, en haut de la feuille de calcul, un contrôle de l'exactitude des réglages. Par exemple =SIESTERRCHERCHE".";"a";"ERREUR veuillez autoriser les caractères génériques dans les formules";"" affichera un message d'erreur si les caractères génériques dans les formules ne sont pas autorisés. Un autre exemple – dans la cellule A3 saisissez le texte Vérification Dans la cellule A4 saisissez ="Les expressions régulières sont "&SI "activées"; "désactivées" Dans la cellule A5 saisissez ="L'option exactitude comme affiché est "&SI "activée"; "désactivée" ou mieux encore, utilisez des messages d'erreurs appropriés. Trucs et Astuces Valeurs entre deux dates Les dates sont stockées en interne comme des nombres et peuvent donc être comparées facilement. Par exemple pour compter le nombre de cellules dans A1A6 entre deux dates vous pouvez utiliser =SOMMEPRODA1A6>DATEVAL"5 nov. 06"; A1A6

Débutanten JavaScript, j’essai de calculer une somme d’un tableau : Voici mon code : Code : - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Array ( ) . prototype .sum Article rédigé par Flavien Fritz le 12 août 2022 - 7 minutes de lecture Dans le cas où le salarié a cotisé à d’autres régimes que le régime général, il faudra prendre en compte les pensions de retraite de base et complémentaires obtenues par les caisses de retraite correspondantes. La possibilité d’achat du point Agric-Arrco La pension de retraite complémentaire pourra être conditionnée par le prix d’achat du point. En effet, ce prix d’achat va permettre de convertir les cotisations salariales et patronales en points. Le prix de ce point est déterminé par le régime complémentaire Agirc-Arrco. Il évolue tous les ans et en 2022, le prix d’achat du point est de 17,4316 €. Notre équipe rédactionnelle est constamment à la recherche des dernieres actualités, mises à jours et réformes au sujet des aides financières en France. Voir notre ligne éditoriale ici. Autres questions fréquentes

Commentcalculer 1 tiers d'une somme? Posté par camille le le 30/10/2016 à 22:22:03 . Il faut diviser la somme par 3 OU multiplier la somme par $\frac{1}{3}$ Exemple:

... ... ... ... Numération Calcul Problèmes Géométrie Mesures ... ... ... CALCUL ... ... ... ... L'addition ... L'addition est une opération qui permet de calculer la somme de plusieurs nombres. ... - Propriétés de l’addition 17 + 14 = 14 + 17 - On dit que l’addition est une opération commutative on peut intervertir, ou commuter, les deux termes d’une somme sans changer la valeur de cette dernière. Ainsi pour deux nombres quelconques a et b , on a a + b = b + a ... 2 + 98 + 129 = 2 + 98 + 129 - On dit que l’addition est une opération associative on peut choisir l’ordre des calculs, associer les termes afin de se faciliter les calculs, lorsque la somme est de plus de deux nombres. Ainsi pour trois nombres quelconques a, b et c, on a a + b + c = a + b + c ... 34 + 0 = 0 + 34 = 34 - On dit que l’addition possède un élément neutre le 0 Ainsi quel que soit le nombre a, on a a + 0 = 0 + a = a ... - Calcul d’une somme - Pour additionner des nombres, on dispose les termes l’un au-dessous de l’autre en alignant en colonne les chiffres des unités, les chiffres des dizaines, les chiffres des centaines... - Puis on ajoute les chiffres, colonne par colonne, à partir de la droite et l’on reporte une retenue lorsque la somme des chiffres est supérieure à 10. Exemples 1 4 5 + 5 2 1 9 7 1815 7 + 2 6 5 1 1 2 2 ... - Applications Forme algébrique Forme numérique Problèmes associés a + b = c 5 + 7 = 12 Pierre avait 5 billes au début de la journée. Il joue pendant la récréation et en gagne 7. Il en a donc 12 à la fin de la journée. a + b = ? 25 + 20 = ? Natacha a 25 euros dans sa tirelire. Pour son anniversaire son grand-père lui donne un billet de 20 euros. - Quelle somme d'argent possède-t-elle maintenant ? a + ? = c 148 + ? = 200 Jacques possède 148 timbres dans sa collection. Son oncle Albert lui en donne plusieurs et quand Jacques les compte à nouveau, il s’aperçoit qu’il en a maintenant 200. - Combien son oncle lui en a-t-il donnés ? ? + b = c ? + 35 = 2020 Nous sommes en 2020 et Fanny a 35 ans. - En quelle année est-elle née ? ... L'addition et la soustraction sont deux opérations étroitement liées Ainsi pour résoudre des équations de la forme Il faut calculer les soustractions suivantes ... ... ... La soustraction ... La soustraction est une opération qui permet de calculer la différence entre deux nombres. ... - Propriétés de la soustraction 10 - 7 ≠ 7 - 10 - La soustraction n’est pas commutative. ... 10 - 10 = 0 - La différence de deux nombres égaux est égale à zéro. Si la différence de deux nombres est égale à zéro, alors ces deux nombres sont égaux. Ainsi quel que soit le nombre a, on a a - a = 0 ... 10 - 8 = 10 + 5 - 8 + 5 = 15 - 13 = 2 - Si on ajoute le même nombre aux deux termes d'une soustraction, la différence reste la même. Ainsi pour 3 nombres quelconques a, b et c, on a a - b = a + c - b + c ... 10 - 7 = 3 => 3 + 7 = 10 - On peut facilement vérifier le résultat d'une soustraction en calculant l'addition associée. C'est calculer la preuve de la soustraction. Ainsi pour 3 nombres quelconques a, b et c, on a a - b = c => b + c = a ... - Calcul d’une différence - Pour soustraire deux nombres, on dispose les termes l’un au-dessous de l’autre en alignant en colonne les chiffres des unités, les chiffres des dizaines, les chiffres des centaines... - Puis on soustrait les chiffres, colonne par colonne, à partir de la droite et l’on reporte une retenue lorsque cela est nécessaire. - Le calcul de la preuve permet de vérifier rapidement le résultat. Exemples 114 5 - 1 5 2 0 9 3 815 7 - 12 6 5 5 9 2 Calcul des preuves 9 3 + 5 2 1 4 5 15 9 2 + 2 6 5 8 5 7 ... - Applications Forme algébrique Forme numérique Problèmes associés a - b = c 9 - 3 = 6 Jessim avait 9 billes au début de la journée. Il joue pendant la récréation et en perd 3. Il lui en reste donc 6 à la fin de la journée. a - b = ? 35 - 20 = ? Nathalie a reçu 35 euros pour son anniversaire. Elle s'achète un beau livre coûtant 20 euros. - Combien lui reste-t-il dans sa tirelire ? a - ? = c 200 - ? = 150 Rémi possède une collection de 200 petites voitures. Il décide d’en donner une partie à son petit frère. Quand il recompte ses voitures, Rémi en trouve 150. - Combien de petites voitures a-t-il données à son frère ? ? - b = c ? - 5 = 14 Mélissa collectionne les poupées. Elle décide de donner 5 poupées à sa petite sœur. Quand elle recompte ses poupées, elle n’en a plus que 14. - Combien de poupées avait-elle avant d’en donner à sa sœur ? ... L'addition et la soustraction sont deux opérations étroitement liées Ainsi pour résoudre des équations de la forme Il faut calculer les opérations suivantes ... ... ... La multiplication ... La multiplication est une opération qui permet de calculer le produit entre deux nombres. ... - Propriétés de la multiplication 15 x 12 = 12 x 15 - Nous disons que la multiplication est une opération commutative ; nous pouvons intervertir, ou commuter, les deux termes d’un produit sans changer la valeur de ce dernier. Ainsi pour deux nombres quelconques a et b , on a a x b = b x a ... 2 x 6 x 5 = 2 x 6 x 5 - Nous disons que la multiplication est une opération associative ; nous pouvons choisir l’ordre des calculs, associer les termes afin de se faciliter les calculs, lorsque le produit est de plus de deux nombres. Ainsi pour trois nombres quelconques a, b et c, on a a x b x c = a x b x c ... 34 x 0 = 0 x 34 = 0 - Nous disons que la multiplication possède un élément absorbant le 0 Ainsi quel que soit le nombre a, on a a x 0 = 0 ... 34 x 1 = 1 x 34 = 34 - Nous disons que la multiplication possède un élément neutre le 1 Ainsi quel que soit le nombre a, on a a x 1 = a ... - Calcul d'un produit - Pour calculer le produit de deux nombres, on dispose les termes l’un au-dessous de l’autre en les alignant vers la droite... - Puis on multiplie les chiffres, un par un, à partir de la droite et l’on reporte une retenue lorsque cela est nécessaire. - Lorsque le multiplicateur est un nombre composé de plusieurs chiffres, on effectue les calculs chiffre après chiffre en allant à chaque fois à la ligne, sans oublier de décaler les résultats !!!... Exemples 19 3 x 5 4 6 5 5 9 x 2 5 2 9 5 + 1 1 8 . 1 4 7 5 4 1 ... - Applications Forme algébrique Forme numérique Problèmes associés a x b = c 3 x 28 = 84 L'enseignant distribue 3 cahiers à chacun de ses 28 élèves. Il a distribué 84 cahiers. a x b = ? 3 x 5 = ? Mathieu a acheté 3 pochettes de cartes. Chaque pochette contient 5 cartes. - Combien a-t-il acheté de cartes ? a x ? = c 5 x ? = 30 Océane achète pour 30 centimes de bonbons à la boulangerie. Elle ne paie qu'avec des pièces de 5 centimes. - Combien de pièces doit-elle donner ? ? x b = c ? x 4 = 32 Un coureur a parcouru 4 tours d'un circuit. En tout, il a parcouru 32 km. - Combien mesure le circuit ? ... La multiplication et la division sont deux opérations qui sont étroitement liées Ainsi pour résoudre des équations de la forme Il faut calculer les divisions suivantes ... ... ... La division ... La division est une opération qui permet de partager un nombre en un certain nombre de parties égales, avec un reste éventuel. ... On appelle le dividende D le nombre que l'on souhaite partager, le diviseur d est le nombre de parts, le quotient q est le résultat de la division, sans oublier le reste r. Le signe "" est le symbole de la division. Exemple 12 5 = 2 et il reste 2 D d = q + r ... - Propriétés 10 5 ≠ 5 10 - La division n’est pas commutative. ... 10 10 = 1 - La division de deux nombres égaux est égale à 1. Ainsi quelque soit le nombre a, on a a a = 1 ... 28 7 = 4 => 28 = 4 x 7 28 5 = 5 reste 3 => 28 = 5 x 5 + 3 - Le dividende est égal au produit du quotient et du diviseur, auquel on ajoute le reste. On a ainsi D = d x q + r ... Cette propriété est très utile pour vérifier le résultat d'une division. ... - Calcul d'un quotient Technique opératoire la division en colonnes ... - Pour poser une division, on commence par écrire le dividende et le diviseur, séparé par un trait vertical. Puis on souligne le diviseur, afin de le séparer du quotient. Exemple 1 328 5 = ? Le diviseur 5 a 1 chiffre ; on considère donc le premier chiffre du dividende 328, donc 3. 3 étant inférieur à 5, il faut prendre un deuxième chiffre au dividende, donc 32. On divise donc 32 par 5. Le résultat est 6. Dans 32, combien de fois 5 ? => 6 On écrit 6 sous le diviseur et on écrit le produit de 5 par 6 soit 30 au-dessous de 32. Puis il faut soustraire 30 de 32. On obtient 2. On abaisse ensuite le chiffre suivant du dividende 8 . On divise maintenant 28 par 5. Le résultat est 5. Dans 28, combien de fois 5 ? => 5 On écrit 5 sous le diviseur et on écrit le produit de 5 par 5 soit 25 au-dessous de 28. Puis il faut soustraire 28 de 25. On obtient 3. Tous les chiffres du dividende ayant été utilisés, la division est terminée. On obtient la valeur approchée par défaut du quotient de 328 par 5 ; c'est 65 ; ... et le reste est égal à 3. 328 5 = 65 reste 3 ou 328 = 5 x 65 + 3 ... ... ... Exemple 2 1 287 24 = ? Le diviseur 24 a 2 chiffres ; on considère donc les deux premiers chiffres du dividende 1 287, donc 12. 12 étant inférieur à 24, il faut prendre un troisième chiffre au dividende, donc 128. On divise donc 128 par 24. Le résultat est 5. Dans 128, combien de fois 24 ? => 5 On écrit 5 sous le diviseur et on écrit le produit de 24 par 5 soit 120 au-dessous de 128. Puis il faut soustraire 120 de 128. On obtient 8. On abaisse ensuite le chiffre suivant du dividende 7. On divise maintenant 87 par 24. Le résultat est 3. Dans 87, combien de fois 24 ? => 3 On écrit 3 sous le diviseur. Puis on écrit le produit de 3 par 24 soit 72 au-dessous de 87. Puis il faut soustraire 72 de 87. On obtient 15. Tous les chiffres du dividende ayant été utilisés, la division est terminée. On obtient la valeur approchée par défaut du quotient de 1 287 par 24 ; c'est 53 ; ... et le reste est égal à 15. 1 287 24 = 53 reste 15 ou 1 287 = 24 x 53 + 15 Remarques - Le reste ne peut jamais être supérieur au diviseur. - Quand le diviseur est un nombre à 2 chiffres ou plus, il est pratique de construire la table de multiplication de ce nombre avant d'effectuer la division. ... - Critères de divisibilité Il peut être intéressant de connaître certains critères de divisibilité. Critère de divisibilité par 2 - Un nombre entier naturel est divisible par 2 s’il est pair, c’est à dire si son chiffre des unités est 0 ; ou 2 ; ou 4 ; ou 6 ; ou 8. Exemple Le nombre 358 est divisible par 2 parce que son chiffre des unités est 8 ; 358 2 = 174 ... Critère de divisibilité par 3 - Un nombre entier naturel est divisible par 3 si le nombre à un chiffre obtenu en calculant la somme des chiffres du nombre initial, puis la somme des chiffres de la somme formée, etc. est 3 ; ou 6 ; ou 9. Exemple Le nombre 279 est divisible par 3 ; en effet 2 + 7 + 9 = 18 et 1 + 8 = 9; 279 3 = 93 ... Critère de divisibilité par 4 - Un nombre entier naturel est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres sont divisibles par 4. Ce nombre est deux fois divisible par 2. Exemple Le nombre 6 548 est divisible par 4 ; en effet 48 est dans la table de 4 => 4 x 12 = 48; 6 548 4 = 1 637 ... Critère de divisibilité par 5 - Un nombre entier naturel est divisible par 5 si le chiffre des unités est 0 ou 5. Exemple Le nombre 855 est divisible par 5 puisqu'il se termine par 5. 855 5 = 171 ... Critère de divisibilité par 6 - Un nombre entier naturel est divisible par 6 s’il est divisible par 2 et par 3. Exemple Le nombre 276 est divisible par 2 et par 3, donc par 6 ; 276 6 = 46 ... Critère de divisibilité par 9 - Un nombre entier naturel est divisible par 9 si le nombre à un chiffre obtenu en calculant la somme de ses chiffres, puis en répétant l’opération jusqu’à ce qu’il n’y ait plus qu’un chiffre, est 9. Exemple Le nombre 675 est divisible par 9, car 6 + 7 + 5 = 18 et 1 + 8 = 9 675 9 = 75 ... Critère de divisibilité par 10 - Un nombre entier naturel est divisible par 10 si le nombre des unités est égal à 0. Exemple Le nombre 9 240 est divisible par 10 ; 9 240 10 = 924 ... Les crières de divisibilité ... ... ... ... ... Numération Calcul Problèmes Géométrie Mesures ... ... ... Cours théoriques pour le cycle 3 en mathématiques - CE2 - CM1 Calcul - L'addition - La soustraction - La multiplication - La division

Commentcalculer facilement un total (une somme) ou une moyenne dans Microsoft Excel ? Comment rechercher une formule dans Excel ? Quelles sont les notions à La manipulation de sommes, via le symbole sigma, repose sur un petit nombre de règles. Cet article a pour objet de les énumérer et d’en donner des exemples d’utilisation, sans aucune prétention à l’originalité. Pour vous entraîner à manier correctement cette écriture et les techniques associées, je vous suggère d’aller jeter un œil aux exercices accessibles depuis cette page. Pour commencer, interrogeons-nous sur l’intérêt de la notation 1 – Abandon des points de suspension En lisant la formule chacun comprend instantanément de quoi il retourne pour calculer cette expression, on doit ajouter les entiers naturels de 1 jusqu’à 10. L’usage des points de suspension ne semble pas constituer, en l’occurrence, un obstacle à la compréhension. Même chose pour On devine aisément qu’il s’agit de la somme des carrés des entiers de 1 à 25. Mais dans le cas de on ne voit pas, même après un certain délai de réflexion, ce que cachent les points de suspension. Pourtant, ces nombres n’ont pas été choisis au hasard. Ce sont les premiers termes de la suite définie par la formule où désigne la partie entière par défaut du réel En effet et ainsi de suite…On pourrait donc penser que les points de suspension peuvent être utilisés, à condition qu’il n’existe aucun doute quant à l’identité de la suite sous-jacente. Mais ce n’est pas aussi simple… Par exemple, si l’on pose pour tout entier les premiers termes de la suite sont Mais attention Donc, lorsqu’on écrit pourquoi ne s’agirait-il pas, après tout, de la somme des neufs premiers termes de la suite ? Ceci montre la nécessité d’une notation totalement explicite, qui élimine toute abandonne donc les points de suspension et on adopte la notation 2 – Le symbole ∑ Etant donnée une liste de nombres réels ou, plus généralement, complexes, on note pour désigner ce qu’on aurait noté jusque là . Cette formule se lit somme, pour variant de 1 jusqu’à n, de u indice k ». La symbole est l’indice de sommation. Il est essentiel de comprendre que la somme ne dépend absolument pas de Pour cette raison, ce symbole est qualifié de muet ». Concrètement, cela signifie qu’on peut le remplacer par n’importe quel autre symbole… qui ne soit pas déjà utilisé dans le contexte du calcul ! Par exemple, étant donnés et la somme peut être notée mais certainement pas puisque le symbole serait utilisé pour désigner deux choses différentes !! Revenons au cas général. Au lieu de la notation on peut utiliser l’une des deux variantes suivantes le symbole désignant l’ensemble des entiers compris entre 1 et n inclusivement. L’écriture se généralise facilement en où I est un ensemble fini et non vide et où, pour tout désigne un nombre complexe. Notons que, dans l’écriture rien n’indique la manière dont les termes sont additionnés. Mais c’est sans importance, puisque l’addition des nombres complexes est une opération commutative et associative. La commutativité permet de modifier l’ordre des termes sans affecter le total, tandis que l’associativité dit que les différents parenthésages possibles sont équivalents. Une manière plus aboutie d’exprimer l’équivalence des différents parenthésages est la l’on partitionne I en sous-ensembles ce qui veut dire que les sont non vides, deux à deux disjoints et que leur union est I, alors formule générale d’associativité Nous verrons à la section 7 une conséquence pratique importante de cette formule l’interversion de sommes doubles sur des domaines de sommation rectangulaires ou triangulaires. Ajoutons que, par convention, une somme de nombres complexes indexée par l’ensemble vide est nulle. Cette convention a le mérite de maintenir vraie la formule générale d’associativité, même si certains sous-ensembles sont vides. Passons maintenant aux règles utilisées en pratique pour manipuler des sommes. 3 – Séparer / Fusionner L’ordre des termes étant sans importance pour le calcul d’une somme, on voit que si et sont des nombres complexes quelconques, alors Les parenthèses sont recommandées, pour ne pas dire indispensables ! Par exemple tandis que, par défaut s’interprète en Mais revenons à la dernière égalité encadrée. Lorsqu’on la parcourt de gauche à droite, on dit qu’on sépare la somme en deux. Et lorsqu’on la parcourt de droite à gauche, on dit qu’on fusionne les deux sommes en une seule. Il est nécessaire, pour la fusion, que les deux ensembles d’indices coïncident. Si tel n’est pas le cas, on peut éventuellement s’y ramener en effectuant une ré-indexation dans l’une des deux sommes je ne vous ai pas encore parlé de ré-indexation, mais nous verrons cela un peu plus loin cf. section 5. 4 – Développer / Factoriser La formule bien connue de distributivité se généralise sans effort simple récurrence pour donner ceci si et sont des nombres complexes, alors Lorsqu’on parcourt cette égalité de gauche à droite, on dit qu’on met en facteur dans la somme. Et lorsqu’on la parcourt de droite à gauche, on dit qu’on développe, ou qu’on distribue sur la somme. Et attention à l’erreur du débutant pour avoir le droit de factoriser par encore faut-il que ce coefficient soit indépendant de l’indice de sommation. L’exemple qui suit est repris en détail dans la vidéo Calcul de Sommes, Episode 1. Si vous connaissez les propriétés des coefficients binomiaux, vous savez sans doute que pour tout couple d’entiers vérifiant Cette relation est appelée parfois formule du pion ». Un exercice classique consiste à demander le calcul de la somme Mettre en facteur dans cette somme serait monstrueux ! Il n’y a d’ailleurs, sous cette forme, rien à mettre en facteur. Mais en écrivant plutôt on peut factoriser par ce qui conduit à Pour finir, la somme des termes de la ème ligne du triangle de Pascal est égale à , donc 5 – Changer d’indice Changer d’indice dans ou ré-indexer une somme consiste simplement à en re-numéroter les termes. Par exemple, la somme peut s’écrire mais aussi ou encore Pour passer de la première écriture à la seconde, on pose et pour passer de la première à la troisième, on pose Ces exemples sont très simples on a ré-indexé la somme en décalant l’ancien indice d’une unité. On est parfois conduit à effectuer d’autres types de ré-indexation. Par exemple, si l’on considère et qu’on pose on obtient Les changements d’indice du type ou bien où l’entier est fixé sont assez fréquents. D’une manière plus générale, étant donnés deux ensembles finis et , si est bijective et si est une famille de nombres complexes indexée par alors On dit qu’on passe du membre de gauche à celui de droite en posant Voyons un exemple de ce mécanisme, en considérant un groupe fini et un morphisme de ce groupe vers le groupe des nombres complexes non nuls. Calculons la somme Si est le morphisme constant c’est-à-dire pour tout , alors . Et sinon, il existe tel que L’application étant bijective c’est ce qu’on appelle une translation du groupe , on peut effectuer dans la somme le changement d’indice défini par , ce qui donne et donc soit finalement En résumé 6 – Sommations télescopiques Etant donnés un entier et des nombres complexes l’expression se simplifie en Cela se comprend en écrivant explicitement les quelques premiers termes et les quelques derniers le calcul qui suit suppose On voit très bien que les termes se compensent deux à deux, à l’exception de et qui sont les deux “survivants” … On dit qu’une telle sommation est “télescopique”. Cette appellation fait sans doute référence à ce qui se passe lorsqu’on replie une lunette télescopique cf. figure ci-dessous seules les extrémités restent visibles ! La formule peut être justifiée proprement de deux façons soit par récurrence sur n,soit en séparant en deux sommes, puis en ré-indexant l’une d’elles. Les choses deviennent intéressantes lorsque la sommation n’apparaît pas, au premier coup d’œil, comme étant télescopique … Par exemple, si l’on pose pour tout entier On peut astucieusement écrire, pour tout Il est alors clair que Autre exemple, considérons pour tout En remarquant que, pour tout on voit que Dernier exemple, ajoutons les premiers termes de la suite de Fibonacci. On rappelle que la suite de Fibonacci est définie par les relations et Pour calculer explicitement la somme on peut simplement la ré-écrire Cette fois le télescopage » se fait, non pas entre un terme et son voisin immédiat, mais plutôt de deux en deux. Le plus simple, pour ne pas se prendre les pieds dans le tapis, consiste à écrire de sorte que soit finalement 7 – Intervertir deux sommes Considérons deux entiers ainsi que nombres complexes , avec et . Posons alors Comme expliqué à la section 2, cette notation a un sens, car peu importe l’ordre dans lequel les termes sont additionnés et peu importe le parenthésage utilisé. En particulier, l’ensemble peut être partitionné en lignes» ou bien en colonnes», comme suggéré par l’illustration ci-dessous Ceci conduit à la formule suivante, appelée formule d’interversion pour un domaine de sommation rectangulaire » Le cas d’un domaine de sommation triangulaire, est tout aussi important en exemple, si l’on considère on peut, à nouveau, sommer en lignes» ou bien en colonnes» Et voici la formule correspondante Donnons deux exemples de calcul faisant intervenir les formules et . Exemple 1 Etant donnés et , on pose Il est connu que Comment obtenir ces formules de façon naturelle » ? Une approche consiste à calculer de deux manières l’expression D’une part, la sommation est télescopique et d’autre part, d’après la formule du binôme Après interversion des sommes le domaine est rectangulaire et mise en facteur du coefficient binomial, on obtient d’où, en confrontant les égalités et , la formule de récurrence forte » Si des formules explicites sont connues pour chacune des sommes , , etc …, , alors cette égalité permet de calculer . Par exemple, connaissant les formules on obtient en appliquant ce qui précède avec c’est-à-dire d’où, après quelques petits calculs pas bien méchants Exemple 2 Pour tout entier , on note classiquement le n-ème nombre harmonique » Il existe une foule de choses à savoir au sujet de la suite , mais nous porterons notre attention sur la formule de récurrence suivante Elle se démontre à l’aide de Avec cette formule , on retrouve la divergence de la suite . En effet, si cette suite convergeait vers un réel , on aurait d’après le lemme de Cesàro et donc, en passant à la limite dans , il en résulterait que , ce qui est absurde ! Pour un exemple du même style, mais plus élaboré, voir le challenge 35 8 – Et pour les produits ? L’analogue du symbole pour représenter un produit est le symbole il s’agit de la lettre majuscule grecque pi ». Si sont des nombres réels ou complexes, leur produit est donc noté Ce symbole se manipule essentiellement de la même manière que le symbole . Par exemple, la formule de fusion / séparation s’écrit maintenant En particulier, si pour tout , cette égalité prend la forme l’erreur classique consistant à oublier l’exposant . Tout comme les sommes cf. section 6, les produits peuvent se télescoper. La formule de base est où sont tous supposés non nuls. Voyons pour terminer trois petits exemples de calculs faisant intervenir la notation Exemple 1 Pour tout et pour tout En effet, un produit de puissances d’un même nombre est égal à où désigne la somme des exposants. Or, nous savons que . Exemple 2 Posons pour tout entier et montrons que Il est facile de voir que, pour tout par exemple en remarquant que l’application est croissante sur . Il s’ensuit que d’où la conclusion. Exemple 3 Cherchons une expression simplifiée pour En calculant ceci pour de petites valeurs de , on trouve invariablement 1. On conjecture alors que , ce qu’on prouve par récurrence sans trop de problème non détaillé. Une autre façon d’aborder cette question consiste à écrire comme un produit double un produit de produits puis à intervertir les deux produits tout comme on sait intervertir deux sommes cf. section 7 ce qui prouve bien que . L’égalité repérée par un résulte d’une interversion sur un domaine triangulaire. Vos questions ou remarques seront toujours les bienvenues. Vous pouvez laisser un commentaire ci-dessous ou bien passer par le formulaire de contact. .